Matematická jednohubka k zahájení školeního roku
Hodnota $\pi$-té odmocniny z $\pi$ (kterou můžeme zapsat také jako mocninu se zlomkem) je přibližně:
$$\sqrt[\pi]{\pi} = \pi^{\frac{1}{\pi}} \approx 1.43963$$Proč je tahle podivná hodnota tak zajímavá?
Abychom pochopili význam tohoto čísla, představme si, že zkoumáme funkci $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$. Dosazujeme do ní různá čísla a sledujeme, co nám vychází.
Tato funkce dosáhne maxima přesně v bodě, kdy se $x$ rovná Eulerovu číslu $e$ (což je zhruba $2.718$). Hodnota v tomto nejvyšším bodě je:
$$e^{\frac{1}{e}} \approx 1.44466$$Jakmile se přes tento vrchol přehoupneme k větším číslům, funkce začne zase klesat. A protože $\pi$ (asi $3.141$) je větší než $e$, nachází se na grafu už na klesajícím svahu.
Z toho logicky vyplývá, že vrchol v bodě $e$ musí být o kousek výš než hodnota v bodě $\pi$:
$$e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}$$Matematický chyták
Díky této jednoduché nerovnosti můžeme elegantně vyřešit klasickou otázku, kterou rádi dávají učitelé matematiky na olympiádách: Je větší $e^{\pi}$, nebo $\pi^{e}$?
Vezmeme naši nerovnost, o které už s jistotou víme, že platí:
$$e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}$$Nyní obě strany umocníme na společný násobek obou jmenovatelů, tedy na $(e \cdot \pi)$. Zlomky v exponentech se tím vykrátí:
$$\begin{aligned} \left( e^{\frac{1}{e}} \right)^{e \cdot \pi} & > \left( \pi^{\frac{1}{\pi}} \right)^{e \cdot \pi} \\ e^{\pi} & > \pi^{e} \end{aligned}$$A je to dokázáno!
Díky chování obyčejné $\pi$-té odmocniny víme, že $e^{\pi}$ je větší číslo než $\pi^{e}$.